יחס הזהב הוא פרופורציה שנחשבה למושלמת וההרמונית ביותר מאז ימי קדם. הוא מהווה בסיס למבנים עתיקים רבים, מפסלים ועד מקדשים, והוא נפוץ מאוד באופיו. יחד עם זאת, פרופורציה זו מתבטאת בקונסטרוקציות מתמטיות אלגנטיות להפליא.
הוראות
שלב 1
הפרופורציה המוזהבת מוגדרת כדלקמן: זו חלוקה כזו של קטע לשני חלקים שהחלק הקטן יותר מתייחס לזה הגדול באותו האופן כמו החלק הגדול יותר מתייחס לכל הקטע.
שלב 2
אם אורכו של כל הקטע נלקח כ -1, ואורכו של החלק הגדול נלקח כ- x, אז הפרופורציה המבוקשת תתבטא במשוואה:
(1 - x) / x = x / 1.
הכפלת שני הצדדים של הפרופורציה ב- x והעברת התנאים, נקבל את המשוואה הריבועית:
x ^ 2 + x - 1 = 0.
שלב 3
למשוואה שני שורשים אמיתיים, שבאופן טבעי אנו מעוניינים רק בחיובי. זה שווה ל- (√5 - 1) / 2, ששווה בערך ל- 0, 618. מספר זה מבטא את יחס הזהב. במתמטיקה, לרוב זה מסומן באות φ.
שלב 4
למספר φ יש מספר מאפיינים מתמטיים מדהימים. לדוגמא, אפילו מהמשוואה המקורית נראה כי 1 / φ = φ + 1. אכן, 1 / (0, 618) = 1, 618.
שלב 5
דרך נוספת לחשב את יחס הזהב היא להשתמש בשבר אינסופי. החל מכל x שרירותי, אתה יכול לבנות ברצף שבר:
איקס
1 / (x + 1)
1 / (1 / (x + 1) + 1)
1 / (1 / (1 / (x + 1) + 1) +1)
וכו '
שלב 6
כדי להקל על החישובים, ניתן לייצג את השבר הזה כהליך איטרטיבי, שבו כדי לחשב את השלב הבא, עליך להוסיף אחד לתוצאה של השלב הקודם ולחלק אחד למספר שהתקבל. במילים אחרות:
x0 = x
x (n + 1) = 1 / (xn + 1).
תהליך זה מתכנס, והגבול שלו הוא φ + 1.
שלב 7
אם נחליף את חישוב ההדדי עם מיצוי השורש הריבועי, כלומר אנו מבצעים לולאה איטרטיבית:
x0 = x
x (n + 1) = √ (xn + 1), ואז התוצאה תישאר ללא שינוי: ללא קשר ל- x שנבחר בתחילה, האיטרציות מתכנסות לערך φ + 1.
שלב 8
מבחינה גיאומטרית ניתן לבנות את יחס הזהב באמצעות מחומש רגיל. אם נצייר בו שני אלכסונים מצטלבים, אז כל אחד מהם יחלק את השני בקפידה ביחס הזהב. תצפית זו, על פי האגדה, שייכת לפיתגורס, שהזדעזע כל כך מהתבנית שנמצאה, עד שהוא ראה את הכוכב המחומש הנכון (פנטגרם) כסמל אלוהי קדוש.
שלב 9
הסיבות לכך שזה יחס הזהב שנראה לאדם הכי הרמוני אינן ידועות. עם זאת, ניסויים אישרו שוב ושוב כי הנבדקים שהונחו לחלק את הקטע לשני חלקים לא שווים בצורה היפה ביותר עושים זאת בפרופורציות קרובות מאוד ליחס הזהב.
